В обычных текстах правильно: Священный синод и Синод (если это слово выступает вместо сочетания Священный синод).  В церковных текстах принято написание Священный Синод (на что и указывает словарь православной лексики).

Фамилия Канта склоняется так же, как, например, слово фанта: Канта, Канты, Канте, Канту, Кантой, о Канте, Правильно: спросить Петра Канту. Для словоизменения фамилий непреложным должен быть закон об абсолютной выводимости именительного падежа фамилии из ее косвенных падежей. Если мы напишем спросить Петра Канта, читатель сделает вывод, что фамилия в именительном падеже – Кант.

Правильно: кануть в Лету.

Выбрать нужно второй вариант, он соответствует фиксации в академическом орфографическом словаре. Но первый ошибочным не будет. 

Правильно с прописной: кануть в Лету.

Для начала нужно определить часть речи.

Рекомендуем писать бой-бенд по аналогии с зафиксированным в словарях биг-бенд.

Правильно.

Правильно: экзитпол.